解答例

• PRIVATE EYES

第1問

1980年度第6問が類題。

AとBを同時に固定してCを動かすと、ACまたはBCがxy = 1の接線になる事から求める方法もある。

第2問

楕円の面積を扱う問題では、円に変換するのが定番だ。

与えられたcos (π/12)の値は、一見すると何に使うのか不明だ。しかしπ/12という情報から、15°刻みの角度が関わってくるのは予想できる。こういう値は計算を進めていけば自然と現れるので、最初に弄り回すのは時間の無駄だ。

第3問

空間認識能力が必要な問題。

(2)

nが単位ベクトルであることと、nとDEの内積が一定であるという条件からyとzの関係式を得られる。求めるのは|y|の範囲ではなく、最大・最小値だから、実数解条件を調べるまでもない。最小値についてはy = 0で成り立つかを調べ、最大値についてはz = 0での値を調べれば完了。

第4問

(1)

a, b, cは独立に動くが、u, vはお互いにaを含んでいるので、独立ではない。

P(u, v)の範囲を求めるという事は、uとｖが同時に値を持つ組み合わせを調べるという事だから、uとvの関係式を作る方法がある。

(2)

(1)の誘導を使わずに、2次方程式の解を求めて、zを最大にするa, b, cの値を代入する方が楽。

第5問

場合分けが煩雑な、確率の難問。

(1, 2)じゃんけんはゲームの勝敗を決める為に行うのだから、勝敗が決まればそれ以降はじゃんけんは行わない。つまり、(1)n < kのときはp = 0, (2)x +y > nのときはp(x, y) = 0となる。これだけ記述して逃げるのも手だ。

(3)この小問が最も易しく、(1)や(2)は誘導になっていない。

第6問

bを求めるのが難しい。(2)では、bが分からなくてもbのままで計算を進めていこう。

発想力を要する問題が多い。

「大学への数学」における各大問の難易度: C,C,C,C,C,C

解答例

• りるらる
• ちょぴん先生
• PRIVATE EYES

第1問

(2)

東大らしい良問で、2変数関数の範囲の求め方が試されている。字数下げを用いることで、煩雑になり易い微分計算を回避する方針で行こう。

基本対称式を利用した置換をするためにbを消去する。そしてa +cを固定するとacの一次関数になる。

第2問

(2)

(1)の与式を活用する。

(2)の与式に級数が含まれているのが最大のヒント。log (m /n) = log m -log n となる事や、最左辺と最右辺が「和の中抜け」で表されている事からも(1)式を足していくのだと分かる。

(2)式の中辺のlogは、(1)の積分関数を解いたものだ。

最左辺の証明で不等式の評価を必要とするのが難所。

ちなみに、(1)だけでなく(2)も図形的考察で解くことも可能。

第3問

確率漸化式の難問。

(1)

P_m(x)と P_m-1(y)では、最初にLに入っているボールの個数が異なっているため、 「m-1回目からm回目への推移」という定石が使えない。

xの値が異なるという事は、初期値が異なる数列を組み合わせて漸化式を作るという事なので、1回目の推移を元に作る。

(2)(3)

「P_nではなくP_2nやP_4nを求めなければならないのだから尚更難しいのだろう」と予想してしまうが、P_2nやP_4n だからこそ漸化式が解ける問題となっている。

りるらるの様に樹形図を描くという解法もある。

第4問

(2)

y₁とy₂を用いよと指示されているので、逆関数を作る。Cの方程式が2次方程式の解に似ている事からも着想できる。

(2)では(1)の結果を用いて図形的な考察をするのだが、ここでもセンスが要求される。

よく練られた問題だ。

第5問

△PQPは二等辺三角形という条件を数式化する。∠POR, ∠QORを一般角で表すのが計算が楽。

整数問題の様に両辺の偶奇の条件でmを絞ると良い。

第6問

ベクトルや相似の手法の運用を試される。方針は建て易いが計算量が非常に多い。(2)と(3)は方針だけ書いて逃げるのもアリだ。

(2)では、0 < t ≦ 2 /9のときは断面が相似の三角形なのでt²に比例するが、2 / 9 < t < 1 では相似ではないので t²に比例しない。

「大学への数学」における各大問の難易度:B,B,B,C,C,C

解答例

• PRIVATE EYES
• ちょぴん先生

第1問

不等式の証明なので、微分の問題だと判断しよう。対数関数に変換してから微分する。対数関数の係数にxが含まれたまま微分すると再び対数関数が現れてしまうので、うまく式変形しよう。

第2問

問題文を読んだだけでは推移をイメージしにくく難しそうだが、1試合目から推移図を書き出してみると、思いのほか単純なパターンだと分かる。(2)で「3m回」という数が示されているのも、3試合で1パターンになっていることを示唆している。

第4問

鋭角三角形の必要十分条件を複素数平面で扱いやすいように数式で表そう。複素数平面は角度を扱いやすいのが特徴なので、「3つの内角が90°未満」を数式化する。

∠C について、公式「(γ -α) /(β -α) = (γ’ -α’) /(β’ -α’) ⇒ △αβγ ∽ △α’β’γ’」を利用すると、(z² -1) /(z -1) = (z +1 -0) /(1 -0) である事から、「1, z, z²が作る三角形は0, 1, z +1が作る三角形と相似」と言える。この様に置き換える事で計算を楽にできる。

第5問

(1)や(2)は難問で、問題内容の把握からして大変だ。把握が難しいときはK = 1や2で実験してみよう。

(3)は(1)や(2)を誘導にした問題ではなく、無理数が無限小数である事を示す典型問題なので(1)や(2)よりも易しい。

第6問

空間図形の求積問題。この手の問題に慣れてしまえば非常に易しいと感じるようになる。

まずは点Aの動く領域を調べよう。すると円の内部を動くと分かるから、Kはz軸周りの回転体だと分かる。そこでKをxz平面で切断して考察する。

解答例

• PRIVATE EYES

第2問

空間図形の問題は対称性に着目するのが常道。与えられているデータは球Sの半径で、求めるのは正四面体Tの一辺の長さだから、これらが現れる断面を考察するのが筋がいい。

正三角形の重心は高さ1/3の位置にあるが、正四面体の重心は高さ1/4の位置にある。この知識を使っても解ける。

この問題にはエレガントな解法がある。頂点を正四面体Tと共有する立方体を考えると、球Sはその内接球である。

第4問

難しい微分方程式の問題。

x, yはtの関数として不明なので、tを消去する方針で行こう。まずは、合成関数の微分を利用してyを消去。するとv₁, v₂をxで表せる。さらにそれらを用いてdv₁/ dt, dv₂/ dtを作れる。

問題の簡素さとは裏腹に計算量は多く、尚且つ答えは非常にシンプルなのが面白い。

第5問

zの不等式は複雑だから一先ず置いておいて、x, yの不等式で範囲を確認してみよう。すると立体の底面は平行四辺形の内部だと分かる。y軸に垂直な平面で切断すれば断面の幅は一定値で求めやすい。

zの不等式の右辺はyの2次式になっており、yを固定すると断面が単純なものになると期待できるのだ。

解答例

• PRIVATE EYES

第1問

「空集合になる場合の数」と「f(n, k) = f(n, 1)を満たすn, k」の2つを答える必要があるが、小問に分けるべきだろう。前者を解答するだけでも10点得られるだろう。

第2問

頂点A₁を固定することで場合の数が1/6に激減し、数え上げも可能になる。

第3問

点P(a, b)、点R(a, t²)とする。

法線の傾きは-1 /2tだ。ここで、PQに根号が含まれているという不自然な特徴に着目すると、直角三角形PQRの三角比から、b = yが簡単に導ける。

面積は、Cがxの関数、C’がyの関数となっているので、y = xで分割するのが良い。

第4問

明らかに図形的対称性のある問題なので、まずは図形的に考察していこう。平面z = tで考察すると、点A, B, Cを頂点とする円錐の断面がそれぞれ現れる。

点Pはxz平面上で動くのは明白だから、この平面上で条件(ロ,ハ)に基づく軌跡1と条件(ニ)に基づく軌跡2を調べよう。軌跡1は、円錐を母線に平行でない断面で切断しているので双曲線になる。結局は共有点の個数の問題に帰結する。

第6問

(1)条件から、f(x)とy = 1 -|x|がx = ±1で共有点を持つと分かる。故に両式を連立した際に(x ±1)で割ることができるので、字数下げが出来る。

(2)積分関数は(1)が解けなくても容易く解ける。

「大学への数学」における各大問の難易度: A, B, C, B, B, C

本年度は丁寧な誘導となる小問が付いた大問が多い。誘導無しで解けるようになっておこう。

分析: 東進, Z会, 河合塾

解答例

• ちょぴん先生
• PRIVATE EYES

第1問

g(θ)にθ = 0を代入してみると分母と分子がいずれも0になるので、x -1で約分できる。これに気付かないと計算が面倒になる。

(1)の誘導が親切過ぎて非常に易しい大問になっているので、(1)は不要だったと思う。

ちなみに、f(θ) = F(x)とおくと、g(θ)には「点(1, F(1))と点(x, F(x))を結ぶ直線の傾き」 という意味がある。

第2問

(1)点Pがy = x 上にあるとき、「上+右の移動回数の和」と「下+左の移動回数の和」が等しい。6秒という設定を4秒にして実験すると気づきやすい。

(2)(1)とは独立の方法で解ける。(2)の方が易しい。

第3問

(1)と(2)は別の問題のように思えるが、どちらもzが直線上を動くという設定。(2)は、(1)の直線が線分になり、α = -1としただけ。

第4問

誘導が異常に丁寧。

(4)実験によって最大公約数は常に2であると分かる。

第5問

(2)グラフを描いてみれば、傾きa = -1の共通接線が存在することは一目瞭然。但し、(1)で求めたbの式はa ≠ -1という条件なのでa = -1を代入してはいけない。

第6問

(2)円錐の底面の円周は、原点からの距離が常に1だ。よって、その円錐をx軸回転させると球の一部が現れる。これに気付けば、軸回転の求積法が楽だ。断面x = tで求積しても難しくはない。

東大数学が最も難しかった90年代の中で例外的に易しかった年度。

解答例

• PRIVATE EYES
• ちょぴん先生

第1問

シンプルながら次のような工夫が求められる問題。

• 同次式なので1変数に置換する
• 不等式なので相加相乗平均やシュワルツ不等式を利用する

第2問

図形的には、g(x)が下に凸の関数であることを証明するという意味があるが、積分を解いて不等式を証明する方法でも良い。

第4問

整数問題ではあるが、f(n)が下凸の関数であることは容易に気付ける。

第5問

(2)座標系の持つx軸とy軸に関する対称性に着目する。

全体的に易しい。

解答例

• PRIVATE EYES

第1問

(1)△ABPと△BB’Pの相似に着目するのが良いだろう。

(2)△ABCと△A’B’C’も相似なので、面積を求めるまでもなく、辺の比が√2であることを利用すれば良い。

第2問

東大らしい空間図形の良問。曲面上の曲線の長さというと如何にも難しそうだが、球面Kと円弧ABがどちらも直線NSを軸としている点に着目するのがコツ。

図形に関する問題なら、対称性や角度などの図形的考察を必ず行うようにしよう。

第4問

x² +y² の式を作ったら、そのまま微分すると煩雑な計算になるのでz = (sin t・cos t) /2 と多項式に変換する。解の配置の問題ではなく、最大最小値の問題なので、変換時に単調性の確認は不要。ただしkの値で場合分けは必要になる。

三角関数の微分という選択肢がない分、文系の方が解きやすい問題かも。